pembagian suku banyak/polinomial

Dalam bahasan kali ini, kita akan membahas mengenai pembagian suku banyak. Dalam hal ini, pembagian suku banyak yang akan dibahas kita batasi dari segi pembaginya yaitu, pembagian suku banyak dengan (x – k), (ax + b), dan (ax²  + bx + c)

Pembagian dengan (x – k)

Jika pembagi suatu suku banyak/polinomial adalah (x – k), maka persamaan pembagian dapat dituliskan sebagai berikut

f(x) = P(x) H(x) + S
atau
f(x) = (x – k) H(x) + S

Dimana f(x) merupakan suku banyak, (x – k) adalah pembaginya, H(x) adalah hasil baginya, dan S merupakan sisa pembagiannya. Oleh karena pembagi P(x) = x – k berderajat satu, maka sisa S maksimum berderajat nol atau berupa suatu konstanta yang tidak memuat variabel. Dari bentuk di atas kita akan mendapatkan Teorema Sisa 1 berikut

Teorema Sisa 1
Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah S = f(k)

Bukti:
f(x) = (x – k) H(x) + S
f(k) = (k – k) H(x) + S
f(k) = 0 H(x) + S
f(k) = S
Jadi, terbukti S = f(k)

Dengan kata lain kita akan mendapatkan sisa dari suatu pembagian f(x) dengan pembagi (x – k) dengan mensubstitusi k ke suku banyak f(x)

Untuk menentukan hasil bagi dan sekaligus sisa pembagian dari suatu suku banyak kita dapat menggunakan dua cara yaitu cara pembagian biasa (cara bersusun) dan cara bagan atau horner/skema. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal berikut

Contoh 1
Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika:
x³ + 7x²  + 4 dibagi (x – 2)
Penyelesaian:
Cara Biasa












Jadi, hasil baginya H(x) = x²  + 9x + 18 dan sisa S = 40
Cara Skema/Horner

Jadi, hasil baginya H(x) = x²  + 9x + 18 dan sisa S = 40

Dengan menggunakan Teorema Sisa 1, kita juga dapat menentukan sisa pembagiannya yaitu:

S = f(x)

S = f(2)

   = (2)³  + 7(2)²  + 4

   = 8 + 28 + 4

   = 40

Pembagian dengan (ax + b)

Pembagian suku banyak f(x) dengan (ax + b), dapat dinyatakan sebagai berikut

Nilai S (sisa) dapat dinyatakan dengan Teorema Sisa 2 berikut

Teorema Sisa 2

Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya adalah S = f ( -b/a )

Cara pembuktiannya hampir sama dengan Teorema Sisa 1. 

Untuk lebih memahami pembagian suku banyak dengan (ax + b), perhatikan contoh berikut

Contoh 2

Tentukanlah hasil bagi dan sisanya, jika 6x³  - 2x²  – x + 7 dibagi (3x + 2)

Penyelesaian:

Untuk menyelesaiakan soal di atas akan digunakan dengan cara horner, untuk cara biasa silahkan anda coba sendiri

Dari  cara horner di atas diperoleh H(x) = 6x²  – 6x + 3, sehingga hasil baginya

dan sisa pembagiannya adalah 5

Pembagian dengan (ax²  + bx + c)

Pembagian suku banyak dengan ax²  + bx + c, di mana a ≠ 0 dapat dilakukan dengan cara biasa apabila ax²  + bx + c tidak dapat difaktorkan, sedangkan jika ax²  + bx + c dapat difaktorkan dapat dilakukan dengan cara Horner. Dari pembagian dengan ax²  + bx + c ini diperoleh Teorema Sisa 3 yaitu

Teorema Sisa 3

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b), maka sisanya adalah S = px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb + q

Dalam hal ini, akan dibahas mengenai pembagian dengan cara biasa saja, karena lebih mudah digunakan dan berikut adalah contohnya

Contoh 3

Tentukanlah hasi bagi dan sisanya, jika 4x³  + x²  + 2x – 5 dibagi (x²  + 2x – 3)

Penyelesaian

Jadi, hasil baginya 4x - 7 dan sisanya adalah 28x - 26

Berikut ini adalah contoh soal lainnya yang berkaitan dengan pembagian suku banyak, yang mungkin akan menambah pemahaman anda mengenai pembagian suku banyak

Contoh 4

Tentukan nilai a sehingga 2x³  + x²  – 13x + a habis dibagi (x – 2), kemudian tentukan hasil baginya

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan soal di atas kita dapat menggunakan Teorema Sisa 1. Karena 2x³  + x²  – 13x + a habis dibagi (x – 2) maka sisanya 0. Kita substitusikan x = 2 pada suku banyak

f(x) = S

f(2) = 0

2(2)³  + 2²  – 13(2) + a = 0

16 + 4 - 26 + a = 0

-6 + a = 0

a = 6

Sehingga, suku banyak menjadi 2x³  + x²  – 13x + 6. Untuk menentukan hasil baginya kita dapat menggunakan cara Horner

Jadi, nilai a adalah 6 dan hasil baginya adalah 2x²  + 5x – 3

Contoh 5

Tentukanlah nilai a dan b, jika x³  + ax + b habis dibagi (x²  + x + 1)

Penyelesaian

Karena x³  + ax + b habis dibagi (x²  + x + 1) maka sisanya adalah 0. Dengan menggunakan pembagian cara biasa diperoleh

Dari, bentuk di atas diperoleh

ax + x = -x

(a + 1)x = -x

a + 1 = -1

a = -2

dan

b = -1

Jadi, nilai a = -2 dan b = -1

Sekian dan semoga bermanfaat

Pembagian Pada Suku Banyak? Itu Mah Gampang!

 January 17, 2014 Wisnu Subekti 15 Comments

Pernah kepikiran nggak sih kalau konsep pembagian pada sukubanyak ini sama dengan konsep pembagian pada bilangan bulat yang pernah kita pelajari waktu SD? Coba kita inget-inget lagi nih ya konsep pembagian pada bilangan bulat. Misalnya….

Kalau kita bagi bilangan 261 dengan 7, berapa hasilnya? Berapa sisanya?

Kalau soalnya kaya yang di atas ini pasti bisa dong ngerjainnya. Anak SD juga bisa  . Kita pakai pembagian bersusun aja ya, kaya gini:

Dari sini juga ketahuan kalau hasil baginya 37 dan sisa baginya 2. Kalau gitu, kita bisa tulis pembagian tersebut begini kan:

Nah, terus ruas kiri dan ruas kanan kita kali dengan 7, sehingga persamaannya begini:

[Btw, udah tau kan kalau ruas kiri dan ruas kanan boleh dikaliin dengan 7 kaya contoh di atas? Ini konsep aljabar yang penting buanget di matematika. Konsep pindah ruas (tambah pindah ruas jadi kurang, bagi pindah ruas jadi kali, dsb) datangnya dari sini. Penting banget sih lo kuasain konsep aljabar yang satu ini. Coba deh tonton video sabda tentang postulat dasar matematika.]

Okay.. kita lanjut lagi. Jadi kalau kita punya 4 bilangan berikut ini:

• Bilangan yang akan dibagi (contoh di atas = 261)
• Bilangan pembagi (contoh di atas = 7)
• Bilangan hasil bagi (contoh di atas = 37)
• Bilangan sisa (contoh di atas = 2)

Kita bisa bikin hubungan kaya gini:

Bilangan yang akan dibagi = (bilangan pembagi) x (bilangan hasil bagi) + bilangan sisa

Nah, kalau kita pakai konsep ini untuk mengerjakan pembagian pada suku banyak, harusnya sama ajadong. Coba misalnya kita punya suku banyak gini:

Terus, kita mau coba bagi suku banyak ini dengan . Kira-kira gimana hasil dan sisanya? Kita bagi pakai pembagian bersusun lagi deh (ceritanya belum tau tentang Horner dan Teorema sisa, jadi pakai ini dulu).

Kelihatan kan kalau hasil baginya adalah  dan sisanya adalah . Kalau gitu, hubungan antar sukubanyak itu bisa kita tulis jadi:

Kedua ruas kita kaliin dengan  sehingga menjadi

Kelihatannya aja ribet. Padahal sama aja polanya sama pembagian bilangan yang kita pelajari waktu SD. Makanya rumusnya juga sama kalau kita ambil empat sukubanyak gini:

•  = Sukubanyak yang akan dibagi 
•  = Sukubanyak pembagi 
•  = Sukubanyak hasil bagi 
•  = Sukubanyak sisa 

Persamaannya sama aja:

Atau kalau , kita bisa tulis persamaannya menjadi

TEOREMA SISA

Kalau lo udah bener-bener ngerti persamaan di atas, baru deh gampang banget untuk bisa mengerti konsep teorema sisa. Bunyi salah satu teorema sisa tuh gini:

Sukubanyak P(x) jika dibagi dengan (x-h) maka sisanya adalah P(h)

Ya iya lah… coba aja masukin nilai  di persamaan (1), hasilnya pasti gini:

Kalau udah tau konsepnya, kita nggak perlu heran kalau sisa pembagian terhadap  adalah . Tinggal masukin (substitusi) aja.

Sedikit tips

Nah, dari tulisan ini, ada selipan tips sedikit. Pertama, jangan lupain fundamental skills di matematika, termasuk fundamental skills yang pernah lo pelajarin waktu SD dan SMP. Banyak banget fundamental skills di matematika yang akan dipake ketika lo mempelajari berbagai macam bab matematika lainnya. Tapi jangan khawatir. Lo nggak perlu buka-buka buku SD dan SMP lagi untuk ngecek fundamental skills apa aja yang mungkin lo masih kurang. Kita udah rangkum ini di beberapa video kita kok. Contohnya diPostulat Dasar dan Basic Mathematical Skills. Btw, fundamental skills ini juga suka muncul ketika lo mempelajari ilmu lain, termasuk Fisika, Kimia, Biologi, Ekonomi, bahkan Psikologi sekalipun.

Kedua, kalau lihat persamaan yang ribet, jangan takut duluan. Kebanyakan persamaan atau rumus-rumus itu sebenernya bisa dilihat dari cara yang simple. Contohnya konsep pembagian sukubanyak yang di atas.

Suku banyak – Practice, practice, practice…

Konsep suku banyak yang dijabarin di atas tentunya baru permulaan aja. Untuk belajar konsep suku banyak selengkapnya, bagusnya lo tonton juga video suku banyak di sini:

Sukubanyak (kelas 11)

Sukubanyak (Persiapan SBMPTN)

Seperti biasa, di kedua link itu ada video teori, ada latihan soal, dan ada video pembahasannya juga. Coba terapin aja konsep yang lo pelajari di sini di berbagai soal yang ada di link itu.

[Catatan Editor : Buat yang mau nanya atau ngobrol dengan Wisnu, langsung aja comment di bawah artikel ini. Kalo kamu belum gabung dengan zenius, pastiin kamu gabung dengan kita dengan sign upzenius.net]

Paket Xpedia 2.0 untuk tahun ajaran 2016/2017 sudah tersedia! Di paket Xpedia 2.0 kamu bisa mendapatkan akses pembelajaran melalui DVD yang bisa kamu gunakan untuk belajar secara offline. Selain itu kamu juga akan mendapatkan voucher zenius.net berlaku sampai 1 Agustus 2017 yang bisa kamu gunakan untuk mengakses ke 41.000+ video pembahasan materi dan 2.500+ modul latihan soal, termasuk pembahasan soal UN, SBMPTN, dan Ujian Mandiri dari beberapa Universitas ternama seperti SIMAK UI dan UTUL UGM.

·         PESAN PAKET XPEDIA 2.0 ZENIUS DI SINI! 

POLINOM

SUKU BANYAK (POLINOM)

Materi-materi yang akan dibahas pada bab ini antara lain suku banyak dan operasinya, pembagian suku banyak, teorema sisa dan teorema factor.

Sebelum mempelajari lebih lanjut tentang suku banyak, coba kalian jawab soal-soal berikut:

1.      Jika fungsi f(x) = 5x²+4x-8, tentukan nilai fungsi tersebut untuk x = 3.

      Jawab:

      f(3) = 5(3)² + 4(3) – 8

             = 45 + 12 – 8

             = 49

2.      Jika diberikan perkalian x(x-3)(x-4), tentukan pangkat tertinggi x dari hasil perkalian tersebut.

      Jawab:

      (x³-3x)(x-4) = x³-4x²-3x²+12x

3.      Tentukan akar-akar dari persamaan kuadrat x²-3x-40 = 0.

Jawab:

x³-3x-40 = 0

(x-8)       (x+5)

x₁ = 8      x₂ = -5

                              

Setelah kalian mampu menjawab menjawab soal-soal di atas mari lanjutkan ke materi berikutnya.

A.    Pengertian Suku Banyak

1.      Bentuk Umum Suku Banyak

Coba perhatikan perkalian suku-suku aljabar berikut:

(x-1)(x+2) = x²+x-2

x(x-1)(x+2) =x( x²+x-2) = x³+x²-2x

(x-1)(x+2) = x²(x²+x-2) = x⁴+x³-2x²

Bentuk-bentuk di atas termasuk suku banyak atau polinom suku banyak adalah suatu bentuk aljabar yang memiliki bentuk umum sebagai berikut:

a_n x_ⁿ + a_n₋₁xⁿ⁻¹ +a_n₋₂ xⁿ⁻²+ … +a₂x^n-²+a₁x+a₀ dengan  a₀, a₂, …, a_n₋₁, a_n

Pada bentuk umum suku banyak di atas, terdapat beberapa istilah yang perlu dipahami, antara lain sebagai berikut:

a.       Pangkat tertinggi x, yaitu n disebut derajat dari suku banyak tersebut.

b.       a_n disebut koefisien dari, xⁿ, a_n₋₁ disebut koefisien dari xⁿ⁻¹, … , dan a, disebut koefisien dari x.

c.       Suku yang tidak memuat variabel x, yaitu a₀  disebut suku tetap.

Sebagai contoh, suku banyak 3x⁵+6x⁴-2x²-4x+7 adalah suku banyak berderajat 5. Koefisien dari x⁵ adalah 3, koefisien dari x⁴ adalah -2, koefisien dari x adalah -4 dan suku tetapnya adalah 7.

Variabel dari suku banyak tidak harus x boleh dengan huruf lain, misalnya y, z, dsb.

2.      Operasi-operasi Suku Banyak

Suku banyak juga dapat dilakukan operasi aljabar, yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

a.       Penjumlahan dan pengurangan

Dalam suku banyak suku-suku yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan adalah suku sejenis. Artinya variabelnya sama dan pangkat variabelnya juga sama. Misalnya, x dengan 2x, 4x³ dengan 2x³,  y⁴ dengan 3y⁴, 2x⁵ dengan x⁵dst.

Contoh:

1)      Tentukan hasil penjumlahan atau hasil pengurangan suku banyak dari (5x³+3x²-6)-(x²-4x+2)

Jawab:

(5x³+3x²-6)-(x²-4x+2) = 5x³+(3x²-x²)+4x+(-6-2)

                                    = 5x³+2x²+4x-8

b.      Perkalian

Untuk mengalihkan dua suku banyak atau lebih kita dapat menggunakan sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan, kemudian baru kita hitung hasil jumlahnya.

Contoh:

Jabarkanlah (3x²+4x)(x³+5x-2)

Jawab:

(3x²+4x)(x³+5x-2)       =          3x²(x³+5x-2)+4x(x³+5x-2)

                                    =          (3x⁵+15x³-6x²)+(4x⁴+20x²-8x)

                                    =          3x⁵+4x⁴+15x³+14x-8x

3.      Kesamaan Suku Banyak

Seperti yang telah kita ketahui, kesamaan sama artinya dengan identik dan dilambangkan dengan   ”  ≡  ‟

Misalnya, x²-25  ≡  (x-5)(x+5) dan x²

Secara umum, kesamaan dapat dinyatakan sebagai berikut:

Misalnya f(x) dan g(x) adalah dua buah suku banyak dengan

F(x) = a_nxⁿ + a_n-1 x^n-1+ a_n-2 x^n-2+. . .+a₀

G(x) = b_nxⁿ + b_n-1 x^n-1+ b_n-2 x^n-2+. . .+b₀

F(x) = g(x) jika dan hanya jika a_n = b_n ; a_n-1 = b_n-1 ; . . . a_{0 =} b₀

        Untuk lebih jelasnya, mari perhatikan contoh berikut.

Contoh:

Ax^{2 +} ( a + b ) x + (a + b +c ) identik  2x² + 8x + 9. Tentukan nilai a, b dan c.

Penyelesaian:

Karena kedua polinom itu identik maka ditulis:

Ax^{2 +} ( a + b ) x + (a + b +c ) = 2x² + 8x + 9.

      Dari kesamaan di atas, diperoleh kesamaan koefisien

 Suku x² => a = 2

Suku x => a + b = 8 atau b = 8 - 26

suku tetap => a + b + c = 9

c = 9 – 2 -6 = 1

      Dengan demikian a = 2, b = 6 dan c = 1.

4.    Menyatakan suku banyak sebagai rumus suatu fungsi

Suatu suku banyak dalam variasi x dapat dinyatakan sebagai fungsi f dengan variabel x. Misalnya, suku banyak yang telah disebutkan dalam bentuk umum suku banyak, dapat dinyatakan sebagai fungsi f(x) sebagai berikut:

F (x ) = a_nxⁿ + a_n-1 x^n-1+. . .+a₂x²+a₁+a₀ . Karena berupa fungsi, suku banyak dapat ditemukan nilainya. Untuk menentukan nilai suku banyak dapat dilakukan dengan cara substitusi maupun cara sintetik.

a.       Cara substitusi

Denagn cara ini, nilai suatu suku banyak f(x) untuk x = k dapat diperoleh dengan menggantikan (menyubstitusikan) naik k bagi variabel x pada suku banyak f(x) oleh karena itu nlai suku banyak itu dapat rumuskan sebagia berikut:

Nilai suku banyak

F (x) = a_nxⁿ + a_n-1 x^n-1+. . .+a₂x²+a₁x+a₀

Untuk x = k (k bilangan real)

F (k) = a_nkⁿ + a_n-1 k^n-1+. . .+a₂k²+a₁k+a₀

Contoh :

Misalkan terdapat suku banyak  f (x) = 3x³ + 2x² + 4x - 5 . Tentukan nilai suku banyak tersebut untuk x = 2 dan x = -1.

Penyelesaian:

Diketahui suku banyak f(x) = 3x³+ 2x² + 4x - 5 .

Untuk x = 2 diperoleh f (2) = 3(2)³ + 2(2)² + 4(2) – 5 = 35

Untuk x = -1 diperoleh f (-1) = 3(-1)³ + 2(-1)² + 4(-1) – 5 = -10

b.      Cara Sintetik chorner

Misalkan terdapat suku banyak f(x)= ax⁴ + bx³ + cx² + dx +e   dengan menyubstitusikan nilai x = k, diperoleh:

F (k)   = ak⁴ + bk³ + ck² + dk +e

            =(ak³ + bk² + ck + d) k + e

            = (( ak² + bk + c ) k + d ) k + e

            = ((( ak + b ) k + c ) k + d ) k + e

Dari bentuk persamaan terakhir, nilai suku banyak f(x) untuk x =k dapat ditentukan secara bertahap sesuai langkah-langkah sebagai berikut:

1.      Kalikan a dengan k, kemudian hasilnya ditambah b.

2.      Kalikan hasil langkah ke-I dengan k, kemudian tambahkan hasilnya dengan c.

3.      Kalikan hasil langkah ke-  II dengan k, kemudian tambahkan hasilnya dengan d.

4.      Kalikan hasil langkah ke-III dengan k, kemudian tambahkan hasilnya dengan e.

                  Hasil terakhir dari dari langkah-langkah tersebut adalah

            F(x) = ak⁴ + bk³ + ck² + dk +e

Dalam menentukan nilai suku banyak, cara ini didasarkan pada penguraian bentuk aljabar secara sintetik. Oleh karena itu menentukan niali suku banyak dengan cara ini disebut cara sintetik. Cara seperti ini pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan dari Jerman yang bernama Horner, sehingga cara sintetik ini disebut juga cara Horner. Ada juga yang menyebut cara menentukan nilai suku banyak dengan cara ini disebut cara skema atau cara bagan karena urutan langkah-langkah tersebut dapat disajikan dalam suatu skema atau bagan sebagai berikut:

k        a                 b           c                 d                          e

                    ak         ak² + b     ak³+bk²+ck       a k⁴+bk³+ck²+d

    a             ak+b   ak² + b+c     ak³+bk²+ck+d     a k⁴+bk³+ck²+d+e

Dalam hal ini, k disebut faktor pengali terhadap koefisien-koefisien suku banyak.

Contoh:

Dengan menggunakan cara sintetik, tentukan nilai suku banyak berikut:

F(x) = x⁴ + 3x³ – 10x² + 4 , untuk x = 2

Penyelesaian:

 2    1    3    -10    0    4

             2     10    0    0

       1    5      0     0    4 = f(2)

Jadi nilai suku banyak f(x)= x⁴ + 3x³ – 10x² + 4 , untuk x = 2 adalah 4

B.       Pembagian Suku Banyak

Di dalam pembagian suku banyak, kita perlu mengingat kembali dalam pengertian pembagian pada bilangan.

Misalnya:

Terdapat pembagian 25:4 yang hasilnya adalah 6 dan sisanya 1.

Pembagian dapat ditulis:

25 = (4×6)+1

1.      Pengertian Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagi

Seperti pembagian bilangan di atas, bilangan 25 disebut bilangan yang dibagi, 4 disebut bilangan pembagi, 6 disebut hasil bagi dan 1 disebut sisa pembagi. Hubungan komponen-komponen dalam pembagian secara umum dapat ditulis sebagai berikut:

Bilangan yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

Hubungan komponen-komponen pembagi dalam pembagian juga berlaku pada pembagian suku banyak yang dapat ditulis sebagai berikut:

Suku banyak yang dibagi = pembagi × hasil bagi + sisa

Dalam pembagian bilangan ada istilah pembagian bersusun. Pembagian bersusun dapat digunakan untuk melakukan pembagian suatu suku banyak.

Contoh:

a.       (2x³+3x²+4x+1 ) : ( x+1 )

Penyelesaian:

2x²+x+3                                 ……..(1)

      X+1      2x³+3x²+4x+1          

                   2x³- 2x²                                  ……..(2)                     

                                             x²+4x+1                          …….(3)

                                             x²+x                                ……..(4)

                                                    3x+1                        ……..(5)

                                  3x+3                        ……..(6)

                                       -2                        ……..(7)

Cara mengerjakan:

1.      Bagilah 2׳ dengan ×, hasilnya 2ײ

2.      Kalikan 2ײ dengan ×+1, hasilnya 2׳+2ײ

3.      Kurangkan 2׳+2ײ dari 2׳+3ײ+4×+1, hasilnya ײ+4×+1

4.      Bagilah ײdengan × hasilnya ×

5.      Kalikan × dengan ×+1, kemudian kurangkan hasilnya dari ײ+4×+1, hasilnya 3×+1

6.      Bagilah 3× dengan × hasilnya 3

7.      Kalikan 3 dengan ×+1, kemudian kurangkan hasilnya dari 3×+1, hasilnya -2.

Jadi, kita peroleh hasil baginya adalah 2ײ+×+3 dan sisa pembagiannya adalah -2.

Dapat ditulis dengan

2׳+3ײ+4×+1 = (×+1)(2ײ+×+3)-2

2.        Pembagian Suku Banyak dengan Cara  Horner

a.       Pembagi Berbentuk Linear (×-k)

Misalnya suku banyak f(×) = ax³+bײ+c×+d, dibagi oleh (×-k) hasilnya H(×) dan sisanya S. Hubungan antara f(×), H(×) dan S.dapat dinyatakan dengan persamaan:

f(×) = (×-k) H(×) + S

Menentukan niali suku banyak dengan cara Horner, misalkan diberikan suku banyak f(×) =  a׳+bײ+c×+d, nilai suku banyak untuk x = k dapat ditentukan sebagai berikut:

k        a                 b           c                 d                          e

                    ak         ak² + b     ak³+bk²+ck       a k⁴+bk³+ck²+d

    a             ak+b   ak² + b+c     ak³+bk²+ck+d     a k⁴+bk³+ck²+d+e

Dari bagan cara Horner, tampak bahwa a, ak + b, dan ak²+bk+c merupakan koefisien hasil bagi, sedangkan f(k) = ak³+bk²+ck+d merupakan sisa pembagian. Pembagian di atas dapat dilakukan dengan cara sintetik (Horner) yaitu:

Hasil bagi : H(×) = aײ+(ak+b)×ak²+bk+c

Sisa pembagi : S = ak³+bk²ck+d

Secara umum, pembagian suku banyak f(×) dibagi oleh (×+k) atau (×-k) atau dengan cara sintetik dapat dilakukan dengan kaidah:

1.      Jika pembagi (×-k), faktor pengali terhadap koefisien-koefisien suku banyak adalah k.

2.      Jika pembaginya (×+k), faktor pengali terhadap koefisien-koefisien suku banyak adalah –k.

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut:

(׳-11×+10)=(×-5)g

Penyelesaian:

(׳-11×+10)=(×-5)

       5     1     0     -11     10

                     5       2       70

               1    5       14      80=sisa

Jadi, hasil pembagi itu adalah ײ+5×+14 dan sisa pembagian 80

b.      Pembagi Berbentuk Linear (a×+b)

Untuk pembagian suku banyak oleh bentuk linear (a×+b), terlebih dahulu ubahlah pembagi (ax+b) menjadi  a ( x+ )

Dengan cara sintetik horner, jika suatu suku banyak f(×) dibagi oleh ( x+ ) Sisanya f ( ) dan hasil baginya adalah f(×) dan hasil baginya adalah f(×) . Hal ini dapat ditulis sebagai berikut:

F(x)=( x+a/b )H(x) + F ()

      =  1/a ( ax + b)H(X ) + F ( )

      = (ax +b)H(x)/a + F( )

Persamaan di atas menunjukan bahwa apabila suku banyak f(×) d(aibagi oleh (a×+b), hasil baginya adalah H(x) / a dan sisanya adalah F ()

Dengan demikian, jika pembagian suku banyak f(×) oleh (a×+b) dilakukan dengan cara sintetik (Horner) dapat digunakan kaidah berikut:

1)      Jika pembaginya (a×+b), faktor pengali terhadap koefisien-koefisien suku banyak adalah 

2)      Jika pembaginya (a×-b), faktor pengali terhadap koefisien-koefisien suku banyak adalah 

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa dari pembagian berikut:

(2׳-ײ-1):(2×+3)

Penyelesaian:

(2׳-ײ-1):(2×+3)

Karena pembaginya 2×+3 = 2 (x + 3 / 2), faktor pengalinya adalah  -3 / 2

   -3/ 2     2     -1     0     -1

                       -3     6     -9

               2      -4     6     -10=sisa

Jadi, sisa pembaginya itu adalah -10 dan hasil baginya 2ײ-4x +6   =ײ - 2x + 3

                                                                                              2

C.    Pembagi Berbentuk kuadrat aײ+b×+c, untuk a   0

Dengan memperhatikan derajat hasil bagi dan sisa pada contoh-contoh pembagian suku banyak f(×) dengan (×+k) dan (a×+b), secara umum kita dapat menemukan sifat sebagai berikut:

Jika suku banyak berderajat n dibagi oleh pembagi berderajat m, berlaku sebagai berikut:

1)      Derajat hasil bagi  =          derajat suku banyak – derajat bembagi

                               =         n – m

2)      Derajat sisa ≤ m – 1 (maksimum m – 1)

Misalkan suku banyak yang dibagi berderajat 4.

      Jika pembagi berderajat 1, hasil bagi berderajat 3 dan sisanya berderajat 0 (suku tetap)

      Jika pembagi berderajat 2, hasil bagi berderajat 2 dan sisanya berderajat ≤ 1 (berderajat p×+q, p, q bilangan real)

      Jika pembagi berderajat 3, hasil bagi berderajat 1 dan sisanya berderajat ≤ 2 (berbentuk pײ+q×+r, p, q, r bilangan real)

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi dengan ax²+bx+c, a ≠ 0 (untuk ax²+bx+c, a ≠ 0 yang dapat difaktorkan maupun yang tidak dapat difaktorkan), hasil bagi dan sisa pembaginya dapat ditentukan dengan cara pembagian bersusun.

Contoh:

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian pad pembagian suku banyak

f(x) = 2x³+x²+3x+6 oleh x²+x-1.

Penyelesaian:

x²+x-1 tidak dapat difaktorkan. Dengan pembagian bersusun, hasil bagi dan sisa pembagiannya dapat ditentukan:

2x + 1                       

   x²+x-1    2x³+ x² + 3x+ 6          

                  2x³+2x²- 2x                              

                                           -x²+5x+6                           

                                           -x²- x  +1                         

                                                   6x+5

Karena derajat 6x+5 (berderajat 1) lebih rendah dari pada x²+x-1 (berderajat 2).

Jadi, hasil pembagiannya 2x-1 dan sisanya 6x+5.

1. Teorema Sisa

Suku banyak yang dibagi = pembagi x hasil bagi + sisa

    

     Khusus untuk sisa pembagian suku banyak,terdapat suatu teorema yang dapat digunakan untuk menentukan sisa pembagian itu,yaitu suku banyak f (x) dibagi oleh bentuk linier (x-k) dan (ax+b) atau dibagi oleh bentuk kuadrat yang dapat difaktorkan menjadi (x-a) (x-b)

2.   Pembagi Berbentuk Linear (x-k)

         Jika suatu suku banyak f (x) dibagi oleh bentuk linier (x-k) hasil baginya H (x) dan sisanya S ( S berderajat 0 sebab pembagi berderajat 1), makanya hubungan antara komponen-komponen ini adalah sebagai berikut:

                             

F (x) = (x-k) H (x) + S

Nilai Sisa S pada pembagian ini dapat ditentukan dengan teorema berikut :

Jika suku banyak f (x) dibagi oleh (x-k) mempunyai sisa S maka S = F (x)

Bukti :

Dari persamaan F (x)=(x-k) H (x) + S, untuk x=k, maka

F(x) = (k-k) H (x) + S

        = 0 x H (x) + S

        = S

Jadi  Terbukti bahwa S = F (x)

contoh :

·         Tentukan sisa pada pembagian suku banyak berikut :

      (x⁶ – 4x⁴ + 2²- 27) : (x + 2)

      jawab :

      (x⁶ – 4x⁴ + 2²- 27) : (x+2)

sisa = F (2)

       = (-2)⁶ – 4 (-2)⁴+2 (-2)-27

       = 64-64+8-27

       = -19

·         Tentukanlah nilai k jika x³-(2k-1)x²+3x+(3h-2): (x+2) sisa -7

      jawab:

               

Cara sintetik

2          1             -2k+1               3               3k-2

                               -2                 4k+2         -8K-10   

                            1             -2k-1             4k+5           -5k-12

Sisanya -5K-12 = -7↔ -5k =5 ↔ k=-1

  K = -1

3.        Pembagi  Berbentuk linear (ax+b)

F (x) = ( ax+b) H(x) + S

Jika Suku banyak F (x) dibagi dengan (ax+b) sisanya S = F (-  )

Bukti :

Jika kita mensubstitusikan x = -  pada persamaan F (x) diatas kita peroleh :

F (-  ) =  H(x) +S

            = 0 x H (x) + S

            = S

jadi terbukti bahwa F (-  ) = S atau S = F (-  )

contoh :

 Tentukan pembagiaan sisa suku banyak (3x⁴ + 2x³ – 8) dibagi oleh (2x + 4)

jawab :

Pada Pembagian tersebut terlihat bahwa 2x + 4 = 2 (x+2) sehingga faktorisasinya adalah-2

-2	3	2	0	0	-8
		-6	8	-16	32
	3	-4	8	-16	24	-

       

jadi sisanya adalah 24

4.        Pembagi Berbentuk Kuadrat yang Dapat Di faktorkan Menjadi (x-a) (x-b)

                        Jika suku banyak f (x) dibagi  oleh (x-a)(x-b) memberikan hasil bagi  H (x) dan sisa S (x) maka diperoleh hubungan berikut :

F (x) = (x-a) (x-b) H (x) + S (x)

Sisa pada Pembagian tersebut dapat ditentukan dengan teorema berikut :

Jika suku banyak f (x) dibagi (x-a)(x-b) mempunyai Sisa S (x) maka S (x) = px + q Dengan F (a0 = pa + q dan F (b) = pb + q

Bukti :

karena pembagiannya adalah (x-a) (x-b) maka derajat pembagi adalah 2. Oleh karena itu, sisa pembagiannya adalah f (x), yaitu S (x) berderajat kurang dari atau sama dengan 1. berarti S (x) = px + q, dengan

f (a) = (a-a) (x-b) H (b) + S (a)

        =  S (a)

        =  pa + q

   dan F (b)   = (b-a) (b-b) H (b) + S (b)

                      = S (b)

                      = pb + q                     

Contoh :

v  Tentukan sisanya jika 3x³ + 8x² – x -11 dibagi x² + 2x – 3

penyelesaian :

Misalkan Sisanya berbentuk px + q.

                         3x³ + 8x² – x -11  = (x² + 2x – 3) H (x) +(px+q)

         3x³ + 8x² – x -11  = (x – 1) (x + 3)H (x) + (px+q)

Untuk x = 1

3 (1)³ + 8(1)² – 1 -11 = (1 – 1) (1 + 3) H (1) +(p + (1) + q)

⇔ 3 + 8 – 12 = p + q

⇔ -1 = p + q atau p + q = -1………………………………(1)

Untuk x = -3

3 (-3)³ + 8(-3)² + 3 -11 = (-3 – 1) (-3+ 3) H (-3) +(p + (-3) + q)

⇔ -81 + 72 – 8 = -3p + q

⇔ -17 = -3p + q atau 3p – q = 17 ………………………(2)

dari persamaan (1) dan (2), diperoleh

 p  + q = -1

3p – q = 17 +

      4p = 16 ⇔ P = 4

Dengan menyubstitusikan nilai P = 4 ke persamaan (1), diperoleh 4 + q = -1 atau q = -5.

jadi,  sisanya adalah 4x – 5

5.        Bentuk Suku Banyak yang Habis dibagi

Apabila sisa dari suatu pembagian adalah nol, maka dikatakan bahwa suku banyak itu habis dibagi oleh pembagi tersebut. Misalkan suku banyak f (x) habis dibagi oleh (x- k). Berdasarkan teorema sisa, sisa pembagian itu adalah f (k). Oleh karena itu, untuk x = k maka f (x) = 0 dan berlaku hubungan f (x) = (x – k) H (x). Berdasarkan uraian tersebut , dapat disimpulkan sebagai berikut :

Suatu suku banyak f (x) habis dibagi oleh (x –k) jika dan hanya jika f (k) = 0

Contoh :

v   Tunjukan bahwa 2x³ + 3x² + x + 6 habis dibagi oleh x + 2.

        Penyelesaian :

   Diketahui f (x) = 2x³ + 3x² + x + 6

   Untuk x = -2 maka f (-2) = 2 (-2)³ + 3 (-2)² – 2 + 6

                                                = - 16 + 12 = 4 = 0

  karena f (-2) = 0 maka 2x³ + 3x² + x + 6 habis dibagi  x + 2

v Tentukan nilai dari a dan b jika suku banyak x³ – ax ²+ 5x + b habis dibagi oleh x²– 2x – 3.

        Penyelesaian :

  karena suku banyak x³ – ax ²+ 5x + b habis dibagi oleh x² – 2x – 3 maka sisanya 0 sehingga berlaku

       x³ – ax ²+ 5x + b = (x² – 2x – 3)H(x)

⇔  x³ – ax ²+ 5x + b = (x + 1) (x -3)H(x)

Untuk x = -1

      (-1)³ –a(-1)² + 5(-1) + b = (-1 + 1)(-1-3)H(-1)

⇔  -1-a-5+b = 0 atau –a +b = 6 ……………………………………..(1)

Untuk x = 3

      (3)³ –a(-3)² + 5(3) + b = (3 + 1)(3 -3)H(-3)

⇔ 27 – 9a + 15 + b = 0 atau -9a + b = -42…………………… (2)

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh a = 6 dan b = 12.

jadi, nilai a = 6 dan b = 12

6.     Menentukan  Sisa pembagian Oleh Pembagi (x – a) (x – b)

                        Kita telah pelajari bagaimana cara menetukan sisa pembagian suatu suku banyak oleh pembagi yang berbentuk (x – a) (x – b). sekarang kita akan menentukan sisa pembagian dengan menggunakan rumus.

                        Misalkan suku banyak f (x) dibagi oleh (x – a) (x – b). akibatnya, sisa pembagian berbentuk linier (px + q). mengapa demikian ? Jika hasil pembagian H(x) dan sisa pembagian S(x) = px + q, berlaku sebagai berikut :

F(x) = (x – a) (x – b)H(x) + px + q

Dengan menyubstitusikan x = a dan x = b ke persamaan tersebut, diperoleh sebagai berikut

·           Untuk x = a

        f(a) = (a – a)(a – b)H((a)+pa + q

   ⇔f(a) = pa + q

·           Untuk x = b

       f(b) =  (ab– a)(b – b)H((b)+pb + q

            ⇔f(b) = pb+ q

jika f(a) dikurangkan dengan F(b), diperoleh

        f(a) – f(b) = (pa + q) – (pb + q)

   ⇔f(a) – f(b) = p(a – b)

   ⇔p = 

              Dengan  Menyubstitusikan nilai p ke f(a) = pa + q, diperoleh

f(a) =  a + q

              q = f(a) -  

              = 

              = 

Jadi, diperoleh S(x) sebagai berikut :

        S(x) = px + q

⇔   S(x) = x + 

jika suku banyak f(x) dibagi oleh (x – a)(x – b), sisa pembagian S(x) dirumuskan dengan:

S(x) = x +

contoh :

v  Fungsi f(x) dibagi x – 1 sisanya 3, sdangkan jika dibagi x – 2 sisanya 4, Tentukan sisanya jika dibagi (x² -3x + 2).

penyelesaian :

f(x) dibagi x² -3x + 2 = (x – 1)(x – 2), berarti a = 1 dan b = 2

f(x) dibagi x – 2 sisanya 4, berarti f(2) = 4.

Oleh karena itu, sisanya adalah

   S(x) = x +

     ⇔  S(x) = x +

     ⇔ S(x) = x + 2

Jadi, sisa pembagiannya adalah x + 2

D. Teorema Faktor

1.  Pengertian Faktor

Apabila suatu suku banyak dibagi oleh suatu pembagi memberikan sisa 0, dapat dikatakan bahwa pembagi itu merupakan faktor dari suku banayk tersebut. Pertanyaan ini dinamakan teorema faktor yang dapat ditulis sebagai berikut :

Misalkan terdapat suatu suku banyak f (x). bentuk (x-k) merupakan faktor dari f (x) jika dan hanya jika f (x) = 0 ,

jika f (x) = a_n x^{n +} a_n-1 x^n-1+ …+a₁x+ a₀ dan (x-k) merupakabn salah satu faktor dari f (x) maka nilai k yang mungkin adalah faktor- faktor bulat dari a₀ dibagi dengan faktor- faktor bulat dari a_n atau dirumuskan  K = 

2.  Menentukan Faktor Linier  Suku Banyak dengan Teorema Faktor

Telah dipelajari bahwa, misalkan suku banyak f (x) dibagi oleh (x-k) maka sisa pembagiannya adalah f (x). Disamping itu telah diketahiu pola bahwa suku banyak f (x) habis dibagi oleh (x-k0 jika dan hanya jika f (x) = 0 akibat dari ketentuan tersebut adalah sebagai berikut :

jika f (x) = o maka x= k memenuhi persamaan f (x) = 0 atau x = k adalah akar dari persamaan f (x) = 0 Dengan kata lain dapat ditulis sebagai berikut ;

jika (x – k) adalah faktor dari suku bnyak f (x) maka x=k adalah akar dari persamaan f(x)=0

Contoh :

 Carilah nilai a agar pecahan  dapat disederhanakan

penyelesaian ;

 Pecahan  = 

Agar dapat disederhanakan,pembilang dan penyebut pecahan itu harus mempunyai faktor yang sama. Pada pecahan tersebut terlihat bahwa faktor dari pembilang adalah ). Hal ini berarti, penyebut harus dibagi 

·         x² + ax +6 habis dibagi (2x-1), berarti

   + a  + 6 = 0

 ↔  +  + 6 = 0

 ↔ 

 ↔ a = -11,5

·         x + ax +6 habis dibagi (x + 3), berarti :

(-3)² + a (-3) +6 = 0

↔ 9 – 3a +6 = 0

↔ 3a = 15

↔   a = 5

jadi, nilai a = - 11,5 atau a = 5

3.        Penyelesaian Persamaan Berderajat Tinggi

jika persamaan berderajat tinggi

an xn + an-1 xn-1 + … +a1 x  + a0= 0

mempunyai akar,paling banyak terdapat n akar, n akar semuanya real, mungkin sebagian real dan sebagian tidak real

jika semua akarnya real,suku banyak tersebyt dapat difaktorkan menjadi

(x – x₁) (x-x₂)(x- x₃)… (x- x_n = 0 )

contoh :

jika (x – x₁) untuk I = 1,2,3…,n merupakan faktor dari F (x) maka F (x₁) = 0 dan x₁merupakan akar persamaan F (x) = 0

Buktikan bahwa x³ + x₂-x + 2 =0 hanya mempunyai akar real

Penyeleseainnya :

Faktor- faktor bulat dari 2 adalah  2 sehingga nilai K yang mungkin adalah 1 dan  2 dengan cara pembagian sintetik diperoleh :

-2	1	1	-1	2
		-2	2	-2
	1	-1	1	0

  jadi, x³ + x₂-x + 2 = (x+2) (x-x+ 1)

Perhatikan bentuk x² – x+1 = 0,Diskriminan dari x² – x+1 = 0 adalah D = b²- 4ac = (-1²)- 4 (1) (1) = -3  ,karena diskrimiannya negative,maka akar- akar persamaan x²– x+1 = 0 tidak real.Jadi, persamaan x³ + x₂-x + 2 =0 hanya mempunyai satu akar real yaitu x = -2

E. Jumlah dan Hasil kali Akar- Akar Persamaan Suku Banyak (Pengayaan)

           Tentu kita masih ingat dengan jumlah dan hasil kalin akar – akar persamaan kuadrat (persamaan suku banyak berderajat 2) ? Pada persamaan tersebut jumlah dan hasil kali akar- akarnya adalah sebagai berikut :

           Untuk ax²+bx+c =0 , akar – akarnya adalah x₁ dan x₂,. Jumlah dan hasil kali akar – akarnya adalah

           x_{1 +} x_{2 =}  dan x₁x₂ = 

Persamaan suku banyak berderajat n mempunyai paling banyak n akar bilangan real . cara mengetahui jumlah dan hasil kali akar – akarnya, sama dengan cara menentukan jumlah dan hasil kali akar – akar pada persamaan suku banyak berderajat dua.

1.persamaan suku banyak berderajat tiga adalah ax³ + bx² + cx+d = 0

a) x₁ + x₂ + x₃ =  

b) x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 

c) x₁x₂ x₃ = 

2. Persamaan suku banyak berderajat 4 dengan akar – akarnya x_1,x_2, x₃ dan x₄

Bentuk persamaan suku banyak berderajat 4 adalah 2x⁴ + bx³ + cx²+dx+e= 0.

1)      x₁+_,x₂+_, x₃+x₄ =  

2)      x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄+x₂x₃+x₂x₄+ x₃x₄= 

3)      x₁x₂ x₃ + x₁x₂ x₄+ x₁x₂x₃+ x₂x₃x₄ = 

4)      x₁x₂ x₃x₄ = 

Selain rumus – rumus diatas, x₁x₂ yang perlu di ingat adalah

a) x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² – 2x₁x₂

b)   x₁² + x₂² + x₃² = (x₁+_,x₂+_, x₃)² – 2 (x₁x₂ + x₁x₃+x₂x₃)

c)x₁³ + x₂³+ x₃³ = (x₁+_,x₂+_, x₃)³ – 3x₁x₂x₃(x₁+_,x₂+_, x₃)

        

Contoh:

Diketahui persamaan suku banyak 2x³-12x²-10x+16=0. Jika x₁,x₂ dan x₃ adalah akar-akarnya, tentukan

a.       x₁+_,x₂+_, x₃:

b.      x₁x₂ + x₁x₂+x₁x₄+x₂x₃:

c.       x₁x₂ x_3.

Penyelesaian:

Persamaan suku banyak 2x³-12x²-10x+16=0, Berarti a=2,b=-12,c=-10,dan d= 16.

a.       x₁+_,x₂+_, x₃ =                        

                             = 

                                              = 6

b.      x₁x₂+x₁x₃+ x₂x₃ = 

                           = 

                           = -5

c.       x₁x₂ x_3. =

             = 

                   = - 8

home » contoh soal matematika » contoh suku banyak KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN SUKU BANYAK TEOREMA SISA Updated by Admin of Bahan Belajar Pada umumnya kita dapat menyelesaikan permasalahan suku banyak atau polinomial dengan menggunakan prinsip teorema sisa, teorema sintesis, dan prinsip teorema faktor. Dengan menguasai tiga prinsip teorema tersebut, maka permasalahan tentang suku banyak akan dapat diselesaikan. Selain konsep dasar, hal lain yang harus kita perhatikan dalam menyelesaikan suatu permasalahan adalah mengenali model soal. Dengan banyak berlatih, maka pembendaharaan kita akan model-model soal akan semakin berkembang dan hal itu akan sangat berguna. Seorang murid yang sering berlatih akan cenderung lebih mudah mengerjakan beberapa persoalan karena ia sudah tahu kemana arah soal tersebut sementara seorang murid yang jarang mengerjakan soal pasti akan cenderung kebingungan saat menemukan soal yang berbeda sedikit saja dari contoh yang diajarkan. Kumpulan Soal Polinomial dan Teorema Sisa Mulailah mengenali model-model soal yang kerapkali muncul. Berikut beberapa model soal yang tentang suku banyak : Menentukan nilai suatu suku banyak dengan variabel bebas tertentu Menentukan suku banyak jika yang diketahui hanya pembagi dan sisa pembagian Menentukan hasil bagi atau sisa pembagian suatu suku banyak oleh suatu pembagi tertentu Menentukan hasil bagi atau sisa pembagian suatu suku banyak oleh suatu pembagi tetapi suku banyak tidak diketahui. Yang diketahui hanya sisa bagi suku banyak jika dibagi oleh beberapa pembagi lainnya.  Menentukan nilai koefisien suatu suku banyak jika sisa pembagian dan pembagi diketahui. Menentukan akar dari suatu suku banyak dengan teorema faktor Menentukan faktor suatu suku banyak Menentukan Nilai Suku Banyak Diketahui suku banyak F(x) = x3 - 2x2 - x - 5. Nilai F(x) untuk x = 3 sama dengan ... A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 E. 12 Nilai suku banyak F(x) = x4 - 3x3 + 2x2 -10 untuk x = 2 adalah ... A. 10 B. 4 C. 0 D. -4 E. -10 Menentukan Suku Banyak Jika Pembagi dan Sisa bagi diketahui Suku bayak berderajat 3 jika dibagi dengan (x2 - x - 6) bersisa (5x - 2), jika dibagi dengan (x2 - 2x - 3) bersisa (3x + 4). Suku banyak tersebut adalah ... A. x3 - 2x2 + x + 4 B. x3 - 2x2 + x - 4 C. x3 - 2x2 - x - 4 D. x3 - 2x2 + 4 E. x3 - 2x2 - 4 Menentukan Hasil Bagi atau Sisa Bagi Suku Banyak Hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak F(x) = x2 - 4x + 7 jika dibagi oleh (x - 2) berturut-turut adalah ... A. (x - 2) dan -3 B. (x - 2) dan 3 C. (x - 2) dan 1 D. (x + 2) dan -3 E. (x + 2) dan 1 Suatu suku banyak x4 - 3x3 - 5x2 + x -6 dibagi oleh ( x2 - x - 2), sisanya sama dengan ... A. 16x + 8 B. 16x - 8 C. -8x + 16 D. -8x - 16 E. -8x - 24 Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak Jika Suku Banyak Tidak Diketahui Suku banyak f(x) jika dibagi (x - 2) sisanya 24 dan f(x) dibagi (x + 5) sisanya 10. Jika f(x) tersebut dibagi dengan (x2 + 3x - 10), maka sisanya sama dengan ... A. x + 34 B. x - 34 C. x + 10 D. 2x + 20 E. 2x - 20 Jika f(x) dibagi oleh x2 - 2x sisanya 2x + 1 dan jika dibagi oleh x2 - 3x sisanya 5x + 2. Jika dibagi oleh x2 - 5x + 6, maka sisanya akan sama dengan ... A. 22x - 39 B. 12x + 19 C. 12x - 19 D. -12x + 19 E. -22x + 49 Suatu fungsi f(x) dibagi (x - 1) sisanya 3, sedangkan jika dibagi (x - 2) sisanya 4. Jika dibagi dengan x2 - 3x + 2, maka sisanya adalah ... A. - x - 2 B. x + 2 C. x - 2 D. 2x + 1 E. 4x- 1 Suatu suku banyak f(x) dibagi oleh (x - 2) sisanya 8, jika dibagi (x + 3) sisanya -7. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh x2 + x - 6 adalah ... A. 9x - 7 B. x + 6 C. 2x + 3 D. x - 4 E. 3x + 2 Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x2 - 1) sisanya (12x - 23) dan jika dibagi oleh (x - 2), sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak oleh (x2 - 3x + 2) adalah ... Pembahasan » A. 12x - 23 B. -12x + 1 C. -10x + 1 D. 24x + 1 E. 24x - 27 Menentukan Nilai Koefisien Suatu Suku Banyak Suku banyak (2x3 + 5x2 + ax + b) dibagi oleh (x + 1) sisanya 1 dan jika dibagi oleh (x - 2) sisanya 43. Nilai dari a + b sama dengan ... A. 13 B. 10 C. 8 D. 7 E. 4 Diketahui suku banyak P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b. Jika P(x) dibagi (x - 1) sisa 11 dan dibagi (x + 1) sisa -1, maka nilai (2a + b) adalah ... A. 18 B. 10 C. 8 D. 6 E. 4 Suku banyak f(x) = x3 + ax2 - bx - 5 dibagi (x - 2) memberikan hasil bagi x2 + 4x + 11 dan sisa 17. Nilai a + b sama dengan ... A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3 Jika x3 - 1 = (x - 2)(x - 3)(x + a) + bx + c maka nilai dari b - c adalah ... A. 50 B. 24 C. 18 D. 15 E. -4 Suku banyak x4 + ax3 + 2x2 + bx + 5 jika dibagi oleh (x - 2) bersisa 7, sedangkan jika suku banyak tersebut dibagi (x + 3) sisanya sama dengan 182. Nilai dari a2 - 4ab +  4b2 adalah ... A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 E. 8 Menentukan Akar Dari Suatu Suku Banyak  Banyaknya akar-akar real dari x4 - 3x3 - 3x2 + 7x + 6 = 0 adalah ... A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 Salah satu akar persamaan x3 + 5x2 - 9x - n = 0 berlawanan dengan akar lainnya maka nilai x12 + x22 + x32 sama dengan ... A. 48 B. 46 C. 44 D. 43 E. 40 Persamaan 2x3 + px2 + 7x + 6 = 0 mempunyai akar x = 2. Jumlah ketiga akar persamaan itu adalah ... A. -9 B. 2½ C. 3 D. 4½ E. 9 Jika akar-akar persamaan x3 - 12x2 + 44x + k = 0 membentuk barisan aritmatika, maka nilai k yang memenuhi persamaan tersebut adalah ... A. -48 B. -42 C. -24 D. 40 E. 48 Bila akar-akar persamaan x4 - 8x3 + ax2 - bx + c = 0 membentuk deret aritmatika dengan beda 2, maka : A. a = -8, b = -15, c = 16 B. a = 8, b = 15, c = -16 C. a = 14, b = -8, c = 15 D. a = -16, b = 8, c = -15 E. a = 14, b = -8, c = -15 Menentukan Faktor Suku Banyak Salah satu faktor dari 2x3 - 5x2 - px + 3 adalah (x + 1). Faktor lain dari suku banyak tersebut adalah ... A. (x - 2) dan (x - 3) B. (x + 2) dan (2x - 1) C. (x + 3) dan (x + 2) D. (2x + 1) dan (x - 2) E. (2x - 1) dan (x - 3) Jika x3 - 12x + ka habis dibagi (x - 2), maka ia habis dibagi dengan ... A. x - 1 B. x + 1 C. x + 2 D. x - 3 E. x + 4 Jika (2x + 1) adalah faktor dari 2x5 - 3x4 + 7x2  - x + p, maka nilai dari p2 + p sama dengan ... A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 E. -2 Diketahui g(x) =  2x3 + ax2 + bx + 6 dan h(x) = x2 + x - 6 adalah faktor dari g(x). Nilai a yang memenuhi adalah ... A. -3 B. -1 C. 1 D. 2 E. 5 Diketahui (x - 2) dan (x - 1) merupakan faktor dari P(x) = x3 + ax2 - 13x + b. Jika akar dari P(x) adalah x1, x2, dan x3 dengan x1 > x2 > x3, maka nilai dari x1 - x2 - x3 adalah ... A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 E. 1 

Sumber: http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/kumpulan-soal-dan-jawaban-suku-banyak-teroema-sisa.html
Content is Courtesy of bahanbelajarsekolah.blogspot.com

Rumus Contoh Soal Suku Banyak Matematika, Materi, Teorema Faktor dan Sisa, Persamaan, Nilai, Pembagian Biasa, Bentuk Umum, Horner, Substitusi - Anda telah mempelajari fungsi aljabar di SMP, misalnya fungsi y = x² – 1. Fungsi y = x² – 1 merupakan fungsi suku banyak. Pada bab ini konsep, tersebut akan dikembangkan sehingga Anda akan mempelajari bagaimana menjabarkan suku banyak menjadi perkalian beberapa suku banyak. Cara menjabarkan suku banyak tersebut akan Anda pelajari pada bab ini. Salah satu manfaat mempelajari bab ini untuk menyelesaikan masalah berikut. Hubungan antara jarak yang ditempuh x(t) dan waktu yang dibutuhkan (t) untuk gerak sebuah mobil dinyatakan oleh x(t) = 48t² – 3t. Dalam hal ini, x(t) dalam meter dan t dalam menit. Dengan menggunakan konsep suku banyak, Anda dapat menghitung jarak mobil setelah bergerak 5 menit.

1. Pengertian Suku Banyak

1.1. Suku Banyak, Derajat Suku Banyak, Koefisien Suku Banyak, dan Suku Tetap

Anda telah memahami bahwa grafik y = (x + 2)² diperoleh dengan cara menggeser grafik y = x² sejauh 2 satuan ke kiri, seperti diperlihatkan pada Gambar 1.

Gambar 1. Grafik y = (x + 2)2 diperoleh dengan cara menggeser grafik y = x2 sejauh 2 satuan ke kiri.

Adapun grafik y = (x – 1)³ diperoleh dari grafik y = x³ dengan cara menggeser grafik dari y = x³ sejauh 1 satuan ke kanan seperti diperlihatkan pada Gambar 2.

Gambar 2. Grafik y = (x – 1)3 diperoleh dari grafik y = x3 dengan cara menggeser grafik dari y = x3 sejauh 1 satuan ke kanan.

Amati keempat persamaan berikut.

y = x²

y = (x + 2)² = x² + 4x + 4

y = x³

y = (x – 1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1

Ruas kanan keempat persamaan itu merupakan suku banyak dalam peubah (variabel) x. Suku banyak x³ – 3x² + 3x – 1 terdiri atas empat suku, yaitu suku ke-1 adalah x³, suku ke-2 adalah –3x², suku ke-3 adalah 3x, dan suku ke-4 adalah –1.

Derajat suatu suku banyak ditentukan oleh pangkat tertinggi dari variabel pada suku banyak tersebut. Jadi, derajat dari suku banyak x³ – 3x² + 3x – 1 adalah 3. Koefisien suku banyak dari x³, x², dan x berturut-turut adalah 1, –3, dan 3.

Adapun –1 dinamakan suku tetap (konstanta).

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menyatakan suku banyak berderajat n? Cobalah nyatakan suku banyak derajat n secara umum. Secara umum, suku banyak dalam peubah x berderajat n ditulis sebagai berikut.

P(x) = a_nxⁿ + a_n–1 x^n–1 + a_n–2 x^n–2 +… + a₂ x² + a₁x + a₀

Cara penyusunan suku banyak berdasarkan pangkat x yang berkurang dengan a_n, a_n–1 , … , a₁ adalah koefisien-koefisien suku banyak yang merupakan konstanta real dan a_n ≠ 0.

a₀ = suku tetap yang merupakan konstanta real

n = derajat suku banyak dan n adalah bilanga cacah

1.2. Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian Suku Banyak

Diketahui, f(x) = –3x³ – x² + 2x dan g(x) = x⁸ + 2x⁵ – 15x² + 6x + 4

• Penjumlahan suku banyak f(x) dengan g(x) adalah : 

f(x) + g(x)= (–3x³ – x² + 2x) + (x⁸ + 2x⁵ – 15x² + 6x + 4) = x⁸ + 2x⁵ – 3x³ – 16x² + 8x + 4

• Pengurangan suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) adalah :

f(x) – g(x) = f(x) + (–g(x))

= (–3x³ – x² + 2x) + (–x⁸ – 2x⁵ + 15x² – 6x – 4)

= –x⁸ – 2x⁵ – 3x³ + 14x² – 4x – 4

• Perkalian suku banyak f(x) dengan suku banyak g(x) adalah :

f(x) × g(x) = (–3x³ – x² + 2x) (x⁸ + 2x⁵ – 15x² + 6x + 4)

= –3x¹¹ – 6x⁸ + 45x⁵ – 18x⁴ – 12x³ – x¹⁰ – 2x⁷ + 15x⁴ – 6x³ – 4x² + 2x⁹ + 4x⁶ – 30x³ + 12x² + 8x

= –3x¹¹ – x¹⁰ + 2x⁹ – 6x⁸ – 2x⁷ + 4x⁶ + 45x⁵ – 3x⁴ – 48x³

Cobalah Anda tentukan g (x) – f(x) dan g(x) × f(x).

Apakah f(x) – g(x) = g(x) – f(x)?

Apakah f(x) × g(x) = g(x) × f(x)?

Jelaskan dengan kata-kata Anda sendiri, kemudian bacakan di depan kelas.

Ingatlah :

Misalkan, f(x) suku banyak berderajat m dan g(x) suku banyak berderajat n,

• f(x) + g(x) adalah suku banyak yang derajatnya adalah maksimum m atau n. 
• f(x) – g(x) = f(x) + (–g(x)) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n. 
• f(x) × g(x) adalah suku banyak berderajat tepat sama dengan (m + n).

Contoh Soal Suku Banyak 1

Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut.

f(x) = 2x⁴ – 3x² + 5x – 6

g(x) = 2x² – 7x + 10

Tentukan :

a. f(x) + g(x) 

b. f(x) – g(x)

c. f(x) × g(x)

Pembahasan 1

a. f(x) + g(x) = (2x⁴ – 3x² + 5x – 6) + (2x² – 7x + 10)

= 2x⁴ – x² – 2x + 4

b. f(x) – g(x) = (2x⁴ – 3x² + 5x – 6) – (2x² – 7x + 10)

= 2x⁴ – 5x² + 12x – 16

c. f(x) × g(x) = (2x⁴ – 3x² + 5x – 6) – (2x² – 7x + 10)

= 2x⁴ (2x² – 7x + 10) – 3x² (2x² – 7x + 10) + 5x (2x² – 7x + 10) – 6 (2x² – 7x + 10)

= 4x⁶ – 14x⁵ + 20x⁴ – 6x⁴ + 21x³ – 30x² + 10x³ – 35x² + 50x – 12x² + 42x – 60

= 4x⁶ – 14x⁵ + 14x⁴ + 31x³ – 77x² + 92x – 60

2. Cara Menentukan Nilai Suku Banyak

2.1. Cara Substitusi

Anda dapat menentukan nilai g(x) = sin (1/x) untuk x = (2/π) dan x = , yaitu :
g (2/π) = sin  = sin (π/2) = 1
g  = sin = sin π = 1

Akan tetapi, Anda akan mengalami kesulitan jika harus menentukan g(π) = sin (1/π) karena (1/π) bukan merupakan sudut istimewa.

Lain halnya dengan fungsi suku banyak, berapa pun nilai yang diberikan pada peubahnya, Anda dengan mudah dapat menentukan nilai suku banyak itu.

Diketahui, suku banyak P(x) = 3x⁴ – 2x² + 5x – 6 maka :

• untuk x = 1, diperoleh P(1) = 3(1)⁴ – 2(1)² + 5(1) – 6 = 0

• untuk x = –1, diperoleh P(–1) = –10

• untuk x = 0, diperoleh = –6

• untuk x + 2 = 0 atau x = –2, diperoleh P(–2) = 24

• untuk x – 2 = 0 atau x = 2, diperoleh P(2) = 44

Kemudian, misalkan suku banyak P(x) = 5x³ + 4x² – 3x – 2 maka :

• untuk x = k + 1, diperoleh :

P(k + 1) = 5 (k + 1)³ + 4 (k + 1)² – 3 (k + 1) – 2

P(k + 1) = 5 k³ + 19 k² + 20k + 4

• untuk x = k – 1, diperoleh :

P(k – 1) = 5 (k – 1)³ + 4 (k – 1)² – 3 (k – 1) – 2 = 5k³ – 11k² + 4k

• untuk x = –k

P(–k) = –5k³ + 4k² + 3k – 2

• untuk x = –k + 1, diperoleh :

P(–k + 1) = –5k³ + 19k² – 20k + 4

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga rumus menentukan nilai suku banyak? Cobalah nyatakan rumus tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas ketentuan berikut.

Nilai suku banyak :

P(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + a_n–2x^n–2 + ...+ a₂x² + a₁x + a₀, untuk x = k di mana k suatu bilangan real adalah :

P(k) = a_nkⁿ + a_n–1k^n–1 + a_n–2k^n–2 + ... + a₂k² + a₁k + a₀

2.2. Cara Skema

Untuk menentukan nilai dari suatu suku banyak dengan nilai tertentu bagi peubahnya akan lebih mudah jika Anda menggunakan cara skema dibandingkan dengan cara substitusi. Agar lebih jelas, pelajari uraian berikut.

Diketahui :

P(x) = 3x⁴ + 2x² – 5x + 6

P(x) dapat pula disusun sebagai berikut.

P(x) = 3x⁴ + 2x² – 5x + 6

= 3x⁴ + 0x³ + 2x² – 5x + 6

= (3x³ + 0x² + 2x – 5) x + 6

= [(3x² + 0x + 2) x – 5] x + 6

= [[(3x + 0 )x + 2] x – 5] x + 6 …(1)

Jika nilai x = 2 disubstitusikan pada persamaan (1) maka :

P(2) secara bertahap diperoleh sebagai berikut.

P(x) = [[(3x + 0)x + 2] x – 5]x + 6

P(2) = [[(3.2 + 0)2 + 2]2 – 5]2 + 6 = [(6.2 + 2)2 – 5]2 + 6

P(2) = (14.2 – 5) 2 + 6 = 23.2 + 6 = 52

Mari menganalisis proses pada perhitungan tersebut.

• Langkah ke-1 menghitung (3.2) + 0 = 6

• Langkah ke-2 menghitung (6.2) + 2 = 14

• Langkah ke-3 menghitung (14.2) – 5 = 23

• Langkah ke-4 menghitung (23.2) + 6 = 52

Langkah-langkah itu dapat disajikan dalam bagan (skema) sebagai berikut.

Perhitungan untuk memperoleh P(2) dapat disajikan melalui skema berikut. Namun, amatilah bahwa ada dua operasi dalam proses ini, yaitu perkalian dan penjumlahan.

• Nilai x = 2 dituliskan pada baris pertama skema, kemudian diikuti oleh koefisien setiap suku dari pangkat tertinggi ke terendah dan suku tetap.

• Operasi aljabar pada skema tersebut adalah perkalian dan penjumlahan.

• Tanda panah menyatakan “kalikan dengan nilai x = 2”.

Secara umum, perhitungan nilai suku banyak :

P(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n-1 + a_n–2x^n–2 + .... + a₂x² + a₁x + a₀

untuk x = k menggunakan cara skema, diperlihatkan pada Gambar 3.

dengan:

A_n = a_n

A_n – 1 = A_n(k) + a_{n – 1}

A_n – 2 = A_n–1(k) + a_{n – 2} . .

. .

. .

A₂ = A₃(k) + a₂

A₁ = A₂(k) + a₁

_A0 = A₁(k) + a₀

Gambar 3. Skema proses perhitungan P(k).

Cara menghitung nilai suku banyak dengan menggunakan skema ini merupakan dasar untuk melakukan pembagian suku banyak dengan cara Horner (W. G. Horner 1786–1837).

Contoh Soal Suku Banyak 2

a. Hitunglah nilai f(x) = 2x⁴ – 4x³ + 4x – 2 untuk x = –6 menggunakan cara skema.

b. Suku banyak f(x) = 2x⁵ – 3x⁴ + 2x³ – px + 10, untuk x = 2 adalah f(2) = 38. Berapakah nilai p?

Penyelesaian 2

f(2) = 38

f(2) = 42 – 2p

↔ 38 = 42 – 2p

↔ 2p = 4

↔ p = 2

3. Pembagian Suku Banyak

3.1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian

Masih ingatkah Anda dengan pembagian bersusun pada bilangan bulat? Jika ya, coba tentukan pembagian 156 oleh 8. Proses pembagian suku banyak pun mempunyai proses yang hampir sama dengan pembagian bilangan bulat. Untuk mengetahui hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak, Anda perlu menguraikan suku banyak menjadi perkalian beberapa suku banyak. Agar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

Amati perkalian-perkalian berikut.

a. (x + 1)(x + 2)(2x – 3) = (x² + 3x + 2)(2x – 3) = 2x3 + 3x² – 5x – 6

b. (x – 1)(x³ – 3) = x⁴ – x³ – 3x + 3

Amatilah proses perkalian tersebut dengan saksama. Dari perkalian (x + 1)(x + 2)(2x – 3), dihasilkan suatu suku banyak 2x3 + 3x² – 5x – 6. Dengan kata lain, jika diberikan atau diketahui suatu suku banyak, dapatlah suku banyak itu difaktorkan. Dengan demikian, Anda dapat lebih mudah melakukan pembagian terhadap suatu suku banyak.

Diketahui, P(x) = x³ – 7x² + 4x + 50 adalah suku banyak berderajat 3.

Pembagian P(x) oleh x – 3 dengan cara pembagian biasa adalah sebagai berikut.

Coba Anda jelaskan langkah-langkah yang dilakukan dalam pembagian tersebut. (x – 3) adalah pembagi dari P(x), sedangkan hasil bagi dari P(x) adalah x² – 4x – 8 dan sisa pembagiannya adalah 26.

Jadi, (x³ – 7x² + 4x + 50) : (x – 3) = x² – 4x – 8 dengan sisa 26. Akibatnya, suku banyak P(x) dapat ditulis sebagai x³ – 7x² + 4x + 50 = (x – 3 ) (x² – 4x – 8) + 26 atau P(x) = (x – 3) × H(x) + sisa … (i),

dengan H(x) = x² – 4x – 8 dan sisa = 26.

Jika nilai x = 3 disubstitusikan pada persamaan (i), diperoleh :

P(3) = (3 – 3 ) × H(3) + sisa = 0 × H(3) + sisa = sisa

Jadi, sisa pembagian oleh (x – 3) terhadap P(x) adalah P(3).

Dari uraian tersebut, dapatkah Anda menduga bentuk umum pembagian suku banyak? Cobalah nyatakan bentuk tersebut dengan kata-kata Anda sendiri. Konsep pembagian suku banyak yang telah Anda pelajari tersebut memperjelas ketentuan berikut.

Sisa pembagian oleh (x – k) terhadap P(x) = a_nxⁿ + a_n–1x^n–1 + a_n–2x^n–2 + .... + a₂x² + a₁x + a₀ adalah P(k) atau P(x) = (x – k) H(x) + sisa dengan sisa = P(k).

Informasi untuk Anda :

Ada beberapa lambang yang digunakan untuk pembagian. Lambang yang paling umum digunakan adalah seperti tanda kurung dengan garis horizontal pada bagian atasnya ( )^─ ). Tanda kurung diperkenalkan pada awal tahun 1500. Beberapa waktu kemudian, tanda garis horizontal ditambahkan. Adapun lambang “ : “ (disebut obelus) kali pertama digunakan sebagai pembagi sekitar tahun 1650. Lambang tersebut diperkenalkan oleh Matematikawan Inggris, John Pell.

Contoh Soal 3

Tentukan sisa pembagian untuk suku banyak (3x⁴ + 2x² + 5x – 1) : (x – 1)

Jawaban :

Sisa = P(1) = 3.14 + 2.12 + 5.1 – 1 = 9.

3.2. Pembagian Suku Banyak dengan Cara Horner

3.2.1. Pembagian Suku Banyak dengan (x – k)

Anda telah mengetahui P(x) = a_nxⁿ + a_{n – 1}x^{n – 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + a₂ x²+ a₁x + a₀ dibagi (x – k) hasil baginya adalah H(x) dan sisanya P(k). Secara matematis, ditulis P(x) = (x – k)H(x) + sisa, dengan sisa = A₀ = P(k).

Diketahui P(x) = a₃x³ + a₂ x² + a₁x + a₀ dan (x – k) adalah pembagi P(x). Oleh karena P(x) berderajat 3 dan (x – k) berderajat 1 maka derajat H(x) adalah (3 – 1) = 2 dan derajat sisa adalah (1 – 1) = 0.

Diketahui, H(x) = b₂ x² + b₁x + b₀ dan sisa = Ao maka suku banyak P(x) dapat ditulis :

Berdasarkan kesamaan suku banyak tersebut (pada kedua ruas), Anda dapat menentukan nilai b2, b1, b0, dan A₀ dengan langkah-langkah sebagai berikut.

• Langkah ke-1: b₂ = a₃

• Langkah ke-2: b₁ – b₂k= a₂ → b₁ = a₂ + b₂k = _a2 + a₃k

• Langkah ke-3: b₀ – b₁k = a₁ → b₀ = a₁ + b1k = a1+ (a₂ + a₃k)k = a₁ + a₂k + a₃k₂

• Langkah ke-4: A₀ – b₀k = a₀ → A₀ = a₀ + b₀k

= a₀ + (a₁ + a₂k + a₃k₂)k

= a₀ + a₁k + a₂k₂ + a₃k₃.

Proses perhitungan nilai b₂, b₁, b₀, dan A₀ dapat disajikan dalam skema berikut.

Contoh Soal 4

a. Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (4x³ – 10x² + 14x – 15) : (x –5) menggunakan cara Horner.

b. Jika fungsi suku banyak P(x) = 6x⁵ + 41x⁴ + 97x³ + px² + 41x + 6 habis dibagi dengan (x – 3), tentukan nilai p.

Pembahasan 4

a.

Jadi, hasil bagi dari (4x³ – 10x² + 14x – 15) oleh (x –5) adalah 4x² + 10x + 64 dan sisanya adalah 305.

b.

P(x) = 6x⁵ + 41x⁴ + 97x³ + px² + 41x + 6 habis dibagi dengan (x – 3) maka sisa pembagiannya sama dengan nol sehingga 7.527 + 9p = 0

↔ 9p = –7.527

↔ p = – 836 (1/3)

Ingatlah :

Dari Contoh 4 (a) diperoleh sisa pembagian adalah nol. Dikatakan suku banyak P(x) habis dibagi oleh ax + b.

3.2.2. Pembagian Suku Banyak dengan (ax + b) 

Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian suku banyak (x³ – 2x² + 3x – 5) : (2x + 3), terlebih dahulu Anda harus menuliskan bentuk (2x + 3) menjadi 2(x + 3/2).

Dengan demikian,

(x³ – 2x² + 3x – 5) : (2x + 3) = (x³ – 2x² + 3x – 5) : 2(x + 3/2)

Dengan menggunakan cara Horner untuk x = – 3/2 diperoleh skema sebagai berikut.

Pembagian suatu suku banyak oleh (ax + b) dinyatakan sebagai berikut.

Diketahui, k = - (b/a) maka bentuk (x – k) dapat dinyatakan sebagai :

Pembagian suku banyak P(x) oleh (x + b/a) memberikan hubungan berikut.

P(x) = (x + b/a) H(x) + sisa

= 1/a (ax + b) H(x) + sisa

= (ax + b) + sisa ....(*)

Persamaan (*) merupakan suku banyak P(x) dibagi (ax + b) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa pembagian. Nilai sisa dan koefisien-koefisien H(x) ditentukan dengan cara pembagian Horner untuk x = – (b/a).

Ingatlah :

Dari contoh tersebut, jika pembagian suku banyak menghasilkan sisa sama dengan nol, dikatakan P(x) habis dibagi oleh (x – k) dan (x – k) disebut faktor dari P(x).

Contoh Soal 5

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian dari (4x³ – 10x² + 14x – 15) : (2x – 5) menggunakan cara Horner.

Penyelesaian 5

Jadi, hasil baginya adalah  = 2x² + 7 dan sisanya adalah 20.

3.2.3. Pembagian Suku Banyak dengan ax² + bx + c, dengan a ≠ 0

Pembagian (x³ – x² + 4x – 4) oleh (x² – 1) dapat dituliskan sebagai berikut:

P(x) = (x² – 1 ) H(x) + sisa = (x + 1) (x – 1) H(x) + (A₁x + A₀)

untuk x = 1 diperoleh P(1) = 0 . H(x) + (A₀ + A₁(1) ) = A₁ + A₀

untuk x = –1 diperoleh, P(–1) = 0 . H(x) + (A₀ + A1(–1)) = – A₁ + A0

Dari pembagian Horner ini diperoleh :

Dengan demikian, sisa pembagian adalah A₀ + A₁x, yaitu –5 + 5x.

Coba Anda tentukan pembagian (x³ – x² + 4x –4) : (x² – 1) dengan pembagian biasa seperti pada bilangan bulat. Adapun hasil bagi ditentukan sebagai berikut.

Jadi, H(x) = b₁x + b₀ = x – 1. Coba amati kembali bagan tersebut. Sisa dari pembagian mana angka 5?

Untuk pembagian suku banyak oleh P(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, di mana P(x) tidak dapat difaktorkan maka digunakan cara pembagian biasa, seperti pada bilangan. Adapun untuk P(x) yang dapat difaktorkan digunakan cara pembagian biasa dan skema Horner.

4. Teorema Sisa

Diketahui, P(x) = a_nxⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + … + a₂x² + a₁x + a₀

Cara Anda menentukan sisa pembagian dari pembagian suku banyak P(x) oleh bentuk (x – k), (ax + b), dan (ax² + bx + c), baik dengan cara Horner maupun dengan cara pembagian biasa telah dipelajari pada pelajaran sebelumnya.

Sekarang amatilah persamaan berikut:

P(x) = f(x) . H(x) + S

P(x) : suku banyak yang dibagi

f(x) : pembagi

H(x) : hasil bagi

S : sisa pembagian

Jika P(x) berderajat n dan f(x) berderajat m (m ≤ n) maka derajat H(x) dan S masing-masing sebagai berikut.

• derajat H(x) adalah (n – m)

• derajat maksimum S adalah (m – 1)

4.1. Pembagian dengan Pembagi (ax + b)

Jika f(x) = ax + b, merupakan pembagi dari P(x) maka hubungan antara P(x) dan f(x) dapat ditulis sebagai berikut.

P(x) = (ax + b) + S, berlaku untuk setiap x bilangan real.

Oleh leh karena f(x) berderajat satu maka S berderajat nol.

Jadi, konstanta S sama dengan A0.

Sisa pembagian dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut.

Teorema 1 :

Jika suku banyak P(x) yang berderajat n dibagi dengan (ax + b) maka sisanya adalah P(- b/a).

Bukti: harus ditunjukkan bahwa S = P (- b/a) Jika suku banyak P(x) berderajat n dibagi dengan (ax + b), bentuk pembagian itu dituliskan sebagai berikut :

P(x) = (ax + b) + S … (1)

Selanjutnya, substitusikan nilai x = - b./a ke persamaan (1) sehingga diperoleh :

Jadi, sisa = P(- a/b) Teorema terbukti.

Contoh Soal 6

Carilah sisa pembagian dari (4x³ + 2x² – 4x + 6) : (x – 3) tanpa melakukan pembagian terlebih dahulu.

Jawaban 6

Suku banyak P(x) = 4x³ + 2x² – 4x + 6 dibagi dengan (x – 3) sisanya adalah

S = P (3/1) = P(3) (berdasarkan Teorema 6.1).

Jadi, dengan menyubstitusikan x = 3 ke dalam fungsi P(x), diperoleh :

P(3) = 4.33 + 2.32 – 4.3 + 6 = 120.

Dengan demikian, sisa pembagiannya adalah 120.

Contoh Soal 7

Tentukanlah p agar pembagian (6x² + 7x – 5) : (px – 1) menghasilkan sisa pembagian yang bernilai 0.

Kunci Jawaban 7

Suku banyak P(x) = 6x² + 7x – 5 dibagi dengan (px – 1), sisanya adalah :

S = P (1/p) (berdasarkan Teorema 1). Jadi, dengan mensubstitusikan x = 1/P ke dalam fungsi P(x), diperoleh :

sehingga sisa pembagian adalah : 

Sisa pembagian sama dengan nol maka berlaku :

Penyebut tidak boleh sama dengan nol sehingga :

–5p² + 7p + 6 = 0

5p² – 7p – 6 = 0

Dengan menggunakan rumus abc diperoleh :

4.2. Pembagian dengan Pembagi (x – a)(x – b)

Suatu suku banyak p(x) yang dibagi oleh f(x) = (x – a) (x – b), dapat dituliskan sebagai berikut.

P(x) = (x – a) (x – b) H(x) + S … (1)

berlaku untuk setiap x bilangan real.

f(x) = (x – a) (x – b) berderajat 2 sehingga sisanya berderajat maksimum satu, atau S = A₀ + A₁x.

Coba Anda jelaskan mengapa sisanya berderajat maksimum satu.

Dengan demikian, persamaan (1) dapat dituliskan sebagai berikut.

P(x) = (x – a) (x – b) . H(x) + A₁x + A₀

Sisa dapat ditentukan dengan teorema sisa, yaitu sebagai berikut.

• Untuk pembagi (x – a), diperoleh sisa :

P(a) = 0. H(a) + A₁(a) + A₀

P(a) = A₁a + A₀ … (2).

• Untuk pembagi (x – b), diperoleh sisa :

P(b) = 0. H(b) + A₁(b) + A₀

P(b) = A₁b + A₀… (3).

Dari persamaan 2 dan 3, dapatkah Anda menemukan rumus berikut.

Contoh Soal 8 ( Soal Ebtanas 1999)

Suatu suku banyak P(x) dibagi oleh (x² – 1) sisanya (12x – 23) dan jika dibagi oleh (x – 2) sisanya 1. Sisa pembagian suku banyak oleh (x² – 3x + 2) adalah ....

Jawaban 8

(x² – 1) = (x + 1)(x – 1)

Jika P(x) dibagi (x – 1), sisanya S = f(1) = 12(1) – 23 = – 11.

Jika P(x) dibagi (x – 2) sisa S = f(2) = 1 (diketahui).

Jika P(x) dibagi (x² – 3x + 2) = (x – 2)(x – 1) sisanya adalah :

Jadi, S = 12x – 23

Contoh Soal 9

Jika suku banyak P(x) dibagi oleh (x – 2), sisanya 8. Adapun jika P(x) dibagi oleh (x² – x – 6), sisanya (3x – 6). Berapa sisa pembagian P(x) oleh (x² – 4)?

Jawaban 9

Pernyataan P(x) dibagi oleh (x – 2) bersisa 8 dapat ditulis dalam bentuk persamaan P(x) = (x – 2) H(x) + 8 yang berlaku untuk setiap x bilangan real.

Untuk x = 2, diperoleh P(2) = 8.

Pernyataan P(x) dibagi oleh (x² – x – 6) bersisa (3x – 6) dapat ditulis dalam persamaan

P(x) = (x – 3) (x + 2) H(x) + 3x – 6 yang berlaku untuk setiap x bilangan real.

• Untuk x = 3, diperoleh P(3) = 3.

• Untuk x = –2, diperoleh P(–2) = –12.

Misalkan, sisa pembagian P(x) oleh x² – 4 adalah S = A₁ x + A₀ maka bentuk pembagian dapat dituliskan dalam persamaan P(x) = (x + 2) (x – 2) H(x) + A₁ x + A₀ yang berlaku untuk setiap x bilangan real.

• Untuk x = 2, diperoleh P(2) = 2A₁ + A₀ = 8 ....(*)

• Untuk x = –2, diperoleh P(–2) = –2A₁ + A₀ = –12 ....(**)

Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh A₀ = –2 dan A₁ = 5 (coba buktikan!)

Jadi, sisa pembagian P(x) oleh (x² – 4) adalah S = 5x – 2.

5. Teorema Faktor

5.1. Pengertian Teorema Faktor

Pandanglah suku banyak P(x) dan pembagi ax + b. Kemudian, amati kembali Teorema 5.1 dengan saksama. Jika sisanya 0, apa yang terjadi dengan (ax + b)? Sebagai akibat dari Teorema 5.1, jika sisa 

P(x) = (ax + b)  + 0

↔ P(x) = (ax + b) dengan a ≠ 0.

Hal ini menunjukkan bahwa (ax + b) adalah suatu faktor dari P(x). Dengan demikian, dapat dikatakan jika P(x) adalah suatu polinom, ax + b adalah pembagi, dan sisa pembagiannya adalah 0 atau  = 0 maka ax + b adalah faktor dari P(x).

Ingatlah :

Selain untuk menentukan faktor suatu suku banyak, teorema faktor dapat pula digunakan untuk menentukan koefisien-koefisien suku banyak yang belum diketahui.

Contoh Soal 10

Tentukan nilai k sehingga (x + 3a) merupakan faktor dari x³ + (ak + 2a) x² + 18a³

Pembahasan 10

Berdasarkan teorema faktor maka :

f(–3a) = 0

(–3a)³ + (ak + 2a) (–3a)² + 18a³ = 0

–27a³ + (ak + 2a) 9a² + 18a³ = 0

–27a³ + 9a³k + 18a³ + 18a³ = 0

(–27 + 9k + 36) a³ = 0

(9 + 9k) a³ = 0

atau

9 + 9k = 0

9k = –9

k = –1

Teorema 2 :

Jika P(x) = a_nxⁿ + a_n–1 . x^n–1 + . . . + a₁ . x + a₀ dengan ai bilangan bulat, i = 1, 2, ..., n dan p bilangan bulat dengan p merupakan harga nol dari P(x) maka p adalah pembagi a₀.

Bukti :

Misal, p bilangan bulat yang merupakan harga nol P(x) maka :

P(p) = a_n pⁿ + a_n–1 . p^n–1 + … + a₁ p + a₀ = 0

a_n pⁿ + a_n–1 . p^n–1 +… + a₁ p = –a₀

p(a_n . p^n–1 + a_n–1 . p^n–2 + … + a₁) = –a₀

Oleh karena p adalah bilangan bulat dan ai juga adalah bilangan bulat maka ruas kiri persamaan tersebut merupakan bilangan bulat. Jadi, p pembagi dari a₀ (terbukti).

Contoh Soal 11

Tentukanlah faktor-faktor dari P(x) = x³ + 4x² + x – 6.

Pembahasan 11

P(x) berderajat 3 sehingga maksimum faktornya berderajat satu yang diperoleh 3 buah. Jika (x – k) merupakan faktor dari P(x) = x³ + 4x² + x – 6 maka nilai k yang diperoleh adalah pembagi bulat dari –6, yaitu ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k tersebut disubstitusikan pada P(x).

• Untuk k = –1 → P(–1) = (–1)³ + 4(–1)² + (–1) – 6 = –4.

P(–1) ≠ 0 maka (x + 1) bukan faktor dari P(x).

• Untuk k = 1 → P(1) = 13 + 4 . 12 + 1 – 6 = 0.

P(1) = 0 maka (x – 1) faktor dari P(x).

• Untuk k = –2 → P(–2) = (–2)³ + 4(–2)² – 2 – 6 = 0

P(–2) = 0 maka (x + 2) faktor dari P(x).

• Untuk k = 2 → P(2) = 2³ + 4 . 2² + 2 – 6 = 20

P(2) ≠ 0 maka (x – 2) bukan faktor dari P(x).

• Untuk k = –3 → P(–3) = (–3)³ + 4(–3)² – 3 – 6 = 0

P(–3) = 0 maka (x + 3) faktor dari P(x).

• Untuk k = 3 → P(3) = 3³ + 4 . 3² + 3 – 6 = 60

P(3) ≠ 0 maka (x – 3) bukan faktor dari P(x).

Jadi, P(x) = x³ + 4x² + x – 6 mempunyai satu faktor linear (x – 1), (x + 2), dan (x + 3).

5.2. Penggunaan Teorema Faktor untuk Mencari Akar Persamaan Suku Banyak

Diketahui, P(x) suku banyak dengan bentuk:

P(x) = a_nxⁿ + a_n–1 . x^n–1 + … a₁x + a₀

(x – k) adalah faktor linear P(x) jika dan hanya jika k akar persamaan P(x) = 0. Jika suku banyak P(x) berderajat n maka persamaan P(x) = 0 maksimum mempunyai n buah akar.

Contoh Soal 12 :

Tentukan akar-akar bulat untuk suku banyak x² – 2x – 3 = 0.

Penyelesaian :

Akar bulat untuk x² – 2x – 3 adalah pembagi bulat dari –3, yaitu

k = {±1, ±3}.

Suku banyak P(x) = x² – 2x – 3 berderajat 2 sehingga maksimum banyak akar persamaan adalah dua. Untuk memperoleh akar-akar tersebut, hitunglah P(k) untuk setiap nilai k. (lihat Teorema 2)

• Untuk k = 1 → P(1) = 1² – 2 . 1 – 3 = –4.

P(1) ≠ 0 sehingga x = 1 bukan akar persamaan suku banyak x² – 2x – 3 = 0.

• Untuk k = –1 → P(–1) = (–1)² – 2(–1) – 3 = 0.

P(–1) = 0 sehingga x = –1 akar persamaan suku banyak x² – 2x – 3 = 0.

• Untuk k = 3 → P(3) = 3² – 2 . 3 – 3 = 0.

P(3) = 0 sehingga x = 3 akar persamaan suku banyak x² – 2x – 3 = 0.

Dua buah akar persamaan suku banyak x² – 2x – 3 = 0 telah diperoleh, yaitu x = –1 dan x = 3 sehingga P(–3) ≠ 0. Jadi, akar-akar bulat untuk x² – 2x – 3 = 0 adalah x = – 1 dan x = 3.

Anda sekarang sudah mengetahui Suku Banyak. Terima kasih anda sudah berkunjung ke Perpustakaan Cyber.

Referensi :

Djumanta, W. 2008. Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika 2 : untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah. Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional, Jakarta. p. 250.